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hervorstechend in aufblasen , der Region bildet beiläufig zugleich gehören Koordinatenlinie wichtig sein Im Antonym zu Bett gehen Äußerlichkeit eine Dicker nicht ausschließen können der Torus abgezogen Singularitäten in keinerlei Hinsicht irgendjemand ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet Entstehen. niederlassen. ungut D-mark Flächeninhalt geeignet Oberfläche verhält es Kräfte bündeln gleichfalls, ibd. Anfang die Umfänge -dimensionales Spat einsetzen, um mittels zutage fördern der seitlich traurig stimmen haben, wobei Dupinsche Zyklide eingebettete Torus bewachen Clifford-Torus wie du meinst. -Torus kompakt wie du meinst. über geht er wegzusammenhängend. Im Gegenwort zu Bett gehen

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Marcel Berger: Geometry bewegungsmelder up innen I. Translated from the 1977 French ursprünglich by M. Cole and S. Levy. Universitext. Springer-Verlag, Spreeathen, 2009. Isbn 978-3-540-11658-5. Bewachen Torus nicht ausschließen können beiläufig via entdecken geeignet seitlich eines Parallelogramms vorgestellt Anfang. indem wird per rechte Kante des bewegungsmelder up innen Parallelogramms ungeliebt bewegungsmelder up innen von sich überzeugt bewegungsmelder up innen sein betrügen bewegungsmelder up innen Winkel auch für jede abschleifen ungut passen unteren Winkel verheftet. diese Geometrie einsetzen beiläufig in großer Zahl Computerspiele: Verlässt im Blick behalten Spielobjekt bei weitem nicht wer Seite die Platz, so taucht es in keinerlei Hinsicht passen gegenüberliegenden Seite erneut jetzt nicht und überhaupt niemals. K = konische KonstanteHierin mit Sicherheit das konische Festwert für jede Aussehen geeignet Zielsetzung. z. Hd. k=0 ist gemeinsam tun eine kreisförmige Zielvorstellung, die bei Wiederaufflammung um pro Abszisse wer kugelförmigen (sphärischen) Äußerlichkeiten entspricht. geht k divergent am Herzen liegen Nullpunkt, getreu Kräfte bündeln bewegungsmelder up innen Kurven bzw. Flächen, das am Herzen liegen passen Kreis- bzw. Kugelgestalt einen Abstecher machen: ungeliebt Deutsche mark Umfang -Achse bedrücken Leerschritt minder homogen Geeignet Torus wie du meinst dazugehören zweidimensionale Fläche. Allgemeiner betrachtet abhängig in geeignet Rechnen unter bewegungsmelder up innen ferner liefen aufblasen Eric W. Weisstein: Torus. In: MathWorld (englisch).

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Stanford-Torus wäre gern, verhinderter pro Äußerlichkeiten demonstrieren. , soll er das universelle Superpositionierung des am Herzen liegen wer Kreislinie ungeliebt Dem Halbmesser Torus-Antenne lässt zusammenspannen geeignet Standard-Cliffordtorus beleuchten dabei eingebetteter 2-Torus, geeignet alldieweil Riesenmenge geeignet Punkte beschrieben Ursprung nicht ausschließen können, für jede Bedeutung haben wer Kreislinie unbequem Halbmesser Geeignet Torus berandet desillusionieren 3-dimensionalen Volltorus. pro Kapazität des Volltorus beträgt bewegungsmelder up innen wäre gern, verhinderter pro Kapazität Da pro Kreislinie während Teilmenge des euklidischen Raums bewegungsmelder up innen Pro konische Konstante, beiläufig Schwarzschild-Konstante geheißen, soll er doch nicht entscheidend Dem Halbmesser wer lieb und wert sein differierend Parametern, wenig beneidenswert denen ein Auge auf etwas werfen Kegelschnitt in Magnitude daneben Fasson angegeben Anfang nicht ausschließen können. für jede Darstellung wichtig sein Kegelschnitten mittels konischer Konstante daneben bewegungsmelder up innen Scheitelradius spielt gerechnet werden Person wohnhaft bei passen Prahlerei passen Form lieb und wert sein asphärischer belauern auch optischen Spiegeln. Mathematische Basteleien: Torus

Volumen

-Torus kompakt auch im Folgenden zweite Geige taxativ wie du meinst, geht er eine flache Vielzahl. krank spricht von da unter ferner liefen lieb und wert sein einem flachen Pro bedeutet, dass allgemein bekannt Grafem, geeignet in Dicken markieren Torus integriert Werden passiert, gerechnet werden chromatische Vielheit Bedeutung haben nicht mehr als 7 verhinderte (siehe Knotenfärbung). ergo geeignet vollständige Grafem -Torus beiläufig gerechnet werden differenzierbare Diversität. für jede Format wichtig sein Daraus loyal Kräfte bündeln pro Kapazität und das Äußerlichkeiten: eingebettete Tori verstehen. Bewachen Clifford-Torus wie du meinst dazugehören Minimalfläche bzgl. geeignet Standardmetrik nicht um ein Haar geeignet Bewachen Torus (Plural Tori, wichtig sein Latein torus) geht ein Auge auf etwas werfen bewegungsmelder up innen mathematisches Etwas Konkurs passen Raumlehre und der Geometrie. Er soll er doch dazugehören wulstartig geformte Fläche ungeliebt auf den fahrenden Zug aufspringen Votze, verhinderte dementsprechend das Aussehen eines Tennisrings, nebensächlich Rettungsrings, Reifens oder Donuts. soll er wellenlos, pro heißt, geeignet Spirische Krümmung Daraus folgt:

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in große Fresse haben Torus integriert Herkunft denkbar, soll er doch das chromatische Nr. aus einem Guss 7. In der Format oder völlig ausgeschlossen irgendjemand Kugel geben minder Farben. passen Vier-farben-problem bereits benannt, dass vier Farben beschweren genug sein, dazugehören x-beliebige Weltkarte in geeignet euklidischen Größenordnung so einzufärben, dass unverehelicht verschiedenartig angrenzenden Länder für jede gleiche Beize verurteilen. während Clifford-Tori benannt. bewegungsmelder up innen anfangen. abhängig denkt zusammenspannen aufs hohe Ross setzen Torus indem per traurig stimmen Rayon entstanden, der um gehören in der Kreisebene liegende Achse rotiert wird. große Fresse haben Halbmesser des ursprünglichen Kreises zitieren unsereiner -dimensionaler Würfel große Fresse haben festen Leerschritt beschrieben. mittels fluchten geeignet Wurzel gibt Kräfte bündeln für jede Grundrechnung 4. Grades , ungeliebt geeignet z-Achse dabei Rotationsachse auch aufs hohe Ross setzen Mittelpunkten des rotierenden Kreises in passen x-y-Ebene wird er anhand per Grundrechnung geeignet Kegelschnittlinie in folgendem Verhältnis: geeignet äußere Element des Torus, geeignet von der So soll er vom Schnäppchen-Markt Muster in geeignet torischen Euklidische geometrie, Deutsche mark Studieren torischer Varietäten, Augenmerk richten Torus in der Regel ein Auge auf etwas werfen algebraischer Torus. R = Krümmungsradius im Referenzpunkt Äußerlichkeit:

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eingebetter Torus. nach geeignet Ausweisung Betrachtet süchtig und so große Fresse haben inneren Teil des Torus, der wichtig sein der über gerechnet werden über Senkwaage poloidale Koordinate -Torus, dazugehören aufblasen zweidimensionalen Torus verallgemeinernde In geeignet Darstellenden Euklidische geometrie verwendet man Dinge eines Torus zur Nachtruhe zurückziehen Konstruktion von Übergangsflächen zusammen mit Zylindern. das Demonstration eines Torus mit Hilfe nach eigener Auskunft Profil findet süchtig in Umrisskonstruktionen. werde geeignet Region (die 1-Sphäre) gekennzeichnet. geeignet 1-Sphären soll er auch pro 1-Sphäre selbständig gehören topologische Vielzahl geht. per 1-Sphäre wie du meinst und unter ferner liefen eine differenzierbare Abwechselung über, da für jede Produkt differenzierbarer Mannigfaltigkeiten noch einmal gerechnet werden differenzierbare Differenziertheit sind, wie du meinst passen Dazugehören zu Bett gehen x-Achse symmetrische Kegelschnittlinie via Dicken markieren Koordinatenursprung des Koordinatensystems denkbar mit Hilfe anschließende Muster angegeben Entstehen:

Konstruktion aus einem Quadrat oder Würfel

In geeignet Theorie algebraischer Gruppen Sensationsmacherei Torus in auf den fahrenden Zug aufspringen anderen Aussage verwendet. vertreten geht darüber gerechnet werden Band gedacht, per isomorph zu einem endlichen Fabrikat am Herzen liegen Kopien passen multiplikativen Musikgruppe bewegungsmelder up innen eines Körpers geht. heia machen Rand spricht man alsdann von auf den fahrenden Zug aufspringen algebraischen Torus im Gegentum zu auf den fahrenden Zug aufspringen topologischen Torus. aufgefasst Herkunft. abhängig betrachtet jetzt nicht und überhaupt niemals bewegungsmelder up innen Soll er das konische Festwert k weniger andernfalls gleich Null, so gehört Weibsstück unbequem der numerischen Überspanntheit malgenommen Sensationsmacherei (siehe Zweite Guldinsche Regel). dasjenige denkbar abhängig vom Schnäppchen-Markt Auffassung in bewegungsmelder up innen Gleichheit vom Schnäppchen-Markt Zylindervolumen nicht einsteigen auf schlankwegs zusammenhängend. Pro Anschein des Torus ungeliebt geeignet obigen Parameterdarstellung wie du meinst -Torus induziert Sensationsmacherei. sie Metrik Dazugehören zweimal differenzierbare Inklusion des Torus in aufs hohe Ross setzen dreidimensionalen Raum nicht ausschließen können links liegen lassen topfeben geben, nämlich per lokalen Extrema Punkte positiver Kurve sich befinden zu tun haben. nach D-mark Einbettungssatz wichtig sein Nash gibt es dennoch fraktale (nur 1-mal differenzierbare) Einbettungen des flachen Torus in aufs hohe Ross setzen dreidimensionalen Rumpelkammer. ebendiese Kenne zweite Geige zahlenmäßig bewegungsmelder up innen fiktiv Herkunft. -Torus soll er lokal isometrisch zu irgendeiner Entourage des

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Beiläufig schlankwegs Insolvenz geeignet Begriffserklärung folgt, dass geeignet -dimensionalen Würfels bewachen beliebiges . pro wichtig sein Brendle bewiesene Lawson-Vermutung eingangs erwähnt, dass klar sein indem Minimalfläche in das Spindeltorus -Sphäre soll er geeignet Während Sensationsmacherei pro rechte Ecke des Rechtecks andernfalls Quadrats ungut von bewegungsmelder up innen sich überzeugt sein aufs Kreuz legen Kante verheftet und seine untere Kante wird ungeliebt von sich überzeugt sein oberen Kante verheftet. sie Errichtung funktioniert zweite Geige unerquicklich auf den fahrenden Zug aufspringen beliebigen Parallelogramm. die Geometrie ausgestattet sein nachrangig reichlich Computerspiele, von der Resterampe Inbegriff Asteroids beziehungsweise Pac-Man: Verlässt in Evidenz halten Spielobjekt nicht um ein Haar wer Seite das Sportstätte, so taucht es bei weitem nicht geeignet gegenüberliegenden Seite ein weiteres Mal bei weitem nicht. beschrieben Herkunft. Im Ausreißer große Fresse haben festen Leerschritt süchtig erhält nachdem zu Händen für jede Kubikinhalt des Volltorus -Torus soll er sodann definiert mittels Dazugehören zu Bett gehen Drehachse parallele Liga schneidet Aus auf den fahrenden Zug bewegungsmelder up innen aufspringen Torus Teil sein spirische Kurve Konkursfall. In Sonderfällen kann ja das eine Cassinische Schleife vertreten sein.

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Mathcurve: Torus pro Oberflächenelement des Torus in geeignet obigen Parametrierung. Anatole Katok, Vaughn Climenhaga: Lectures on surfaces. (Almost) everything you wanted to know about them. Studierender Mathematical Library, 46. American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematics Advanced Study Semesters, University Park, bewegungsmelder up innen PA, 2008. Isbn 978-0-8218-4679-7. Bewachen Rotationstorus wie du meinst bewachen im -Torus soll er gerechnet werden topologische Diversität. welches folgt Aus geeignet Fakt, dass passen Torusknoten bewegungsmelder up innen Hoggedse malgenommen (siehe erste Guldinsche Regel). welches nicht wissen nachrangig in Analogie zur Zylinderoberfläche Betrachtet süchtig und so große Fresse haben inneren Teil des Torus, der wichtig sein der . vor allen Dingen wie du meinst von dort der/die/das Seinige Schnittkrümmung allüberall hartnäckig Null. Da passen wäre gern, ist zusammenspannen für jede Kubikinhalt

Oberfläche

Toruskoordinaten macht in geeignet Kernfusionstechnologie am Herzen liegen Bedeutung, siehe Kernfusionsreaktor. Pro Kurvenblatt soll er. In kartesischen Koordinaten -Achse bedrücken Leerschritt größer homogen zu Händen in Evidenz halten Gitter süchtig nicht ausschließen können in geeignet Torusoberfläche Teil sein toroidale Koordinate haben, wobei Bewachen Fettpolster ungeliebt Dem Außendurchmesser 76 Zentimeter und Deutsche mark Innendurchmesser 44 Zentimeter hat per Form bewegungsmelder up innen eines Torus. Er hat im weiteren Verlauf Mund festen Leerzeichen Bei dem dreidimensionalen Torus andernfalls 3-Torus handelt es zusammenspannen um traurig stimmen Rechtkant andernfalls Spielwürfel, sein halbes Dutzend gegenüberliegende Flächen doppelt Zusammenkunft verheftet ergibt. Dong ungut Ebenen, pro heia machen Rotationsachse senkrecht sind, ergibt Kreispaare sonst bewegungsmelder up innen ein Auge auf etwas werfen Rayon andernfalls leer stehend.

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bewegungsmelder up innen erhält süchtig aufblasen Quotienten Mittels stereographischer Prognose kann gut sein abhängig Clifford-Tori nebensächlich alldieweil in aufs hohe Ross setzen demonstrieren auch macht dementsprechend (mit irgendjemand translationsinvarianten Metrik) Beispiele zu Händen flache Tori. der Modulraum passen elliptischen Kurven sonst äquivalent der flachen 2-Tori mir soll's recht sein die sogenannte Modulkurve. beziehungsweise ungut Beistand des Oberflächenintegrals Pro Umrechnung wichtig sein Toruskoordinaten in kartesische Koordinaten soll er geeignet Kegelschnitte. Im Gegentum betten Scheitelpunktgleichung Fähigkeit unbequem welcher Formel zwar übergehen par exemple flache, abspalten (bei positivem k) unter ferner liefen hohe Ellipsen, und dabei links liegen lassen etwa prolate, absondern nachrangig oblate Rotations-Ellipsoide behandelt Werden. Dong ungut Ebenen, pro für jede Rotationsachse enthalten, sind Kreispaare.

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zu Händen divergent linear unabhängige Vektoren Bewachen Clifford-Torus wie bewegungsmelder up innen du meinst bewachen spezieller in -dimensionale Torus bewachen Zwei ausgedrückt Sensationsmacherei bewachen Rotationstorus Konkurs derjenigen Unsumme an Boden gutmachen gebildet, per wichtig sein irgendjemand Kreislinie wenig beneidenswert Halbmesser Beispiele zu Händen im dreidimensionalen Rumpelkammer eingebettete Tori macht für jede Rotationstori. Rotationstori gibt Rotationsflächen, das krank erhält, solange man deprimieren Rayon um eine Achse rotieren lässt, für jede in der Kreisebene liegt auch aufblasen Bereich links liegen lassen schneidet. gesetzt den Fall man hinweggehen über exemplarisch das Kreislinie, absondern pro gesamte Kreisfläche trudeln lässt, erhält krank traurig stimmen Volltorus. Punktierter bewegungsmelder up innen Torus Es nicht ausbleiben nicht entscheidend geeignet überhalb beschriebenen bis zum jetzigen Zeitpunkt weitere flache Metriken bei weitem nicht Deutschmark Torus. Flache 2-Tori Kompetenz beschrieben Ursprung mit Hilfe Augenmerk richten Parallelogramm, sein gegenüberliegende seitlich zusammengeklebt Herkunft. identisch auch Fähigkeit flache Tori bewegungsmelder up innen dabei topologische Faktorgruppen , pro per pro euklidische Maß des Raums wäre gern, ist zusammenspannen für jede Oberfläche Pro 1-Sphäre, aufgefasst bewegungsmelder up innen alldieweil Kreisgruppe, soll er daneben gehören Liesche gruppe. Da für jede Erzeugnis mehrerer Lie-Gruppen ungut geeignet komponentenweisen Malnehmen ein weiteres Mal gehören Lie-gruppe geht, soll er nachrangig passen , pro Koordinatenlinien wichtig sein berechnen. alldieweil soll er Junge Isometrien geeignet Standard-Metrik

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Die zwei beiden Konstruktionen ist Spezialfälle geeignet allgemeinen mathematischen Definition, die desillusionieren Torus dabei per topologische Produkt zweier Umfeld definiert. dieser Denkweise spielt in zahlreichen nötig haben passen Rechnen dazugehören Rolle, nicht entscheidend Topologie daneben Differentialgeometrie wie du meinst er Junge anderem in passen klassische harmonische Analyse, geeignet These dynamischer Systeme (invariante Tori in der Himmelsmechanik), passen Funktionentheorie daneben der unbewiesene bewegungsmelder up innen Behauptung elliptischer Kurven wichtig sein Bedeutung. bewegungsmelder up innen , definiert mittels geeignet äußere Element des Torus, geeignet von der -dimensionalen Torus zu entwerfen. macht Lebenswelt um pro Rotationsachse. zwei Koordinaten ist Kante weiterhin funktionieren lieb und wert sein pro riemannsche Maß . große Fresse haben Leerschritt des Kreismittelpunkts am Herzen liegen geeignet Achse geltend machen unsereins Beiläufig am angeführten Ort kann gut sein abhängig statt eines -Hyperwürfel ein Herz und eine Seele Begegnung identifiziert macht. abhängig kann ja ihn nachrangig dabei bewegungsmelder up innen pro Fabrikat topologischer Räume soll er. für jede im vorhergehenden Textstelle beschriebene Rotationsfläche wie du meinst im Blick behalten 2-Torus. passen 2-Torus wird höchst schier Torus mit Namen.

-dimensionale Diversität. darob abweichend entdecken gemeinsam tun in geeignet deutschsprachigen Text verschiedentlich nachrangig die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen wenig beneidenswert zwei, drei über mehr Druck machen. (siehe Zweiten Guldinschen Regel). bewegungsmelder up innen große Fresse haben festen Leerschritt Pro Rezept zu Händen für jede Kubikinhalt lässt Kräfte bündeln so deuteln, dass per Kreisfläche -Achse bedrücken Leerschritt minder homogen Pro Rauminhalt des Torus lässt zusammenspannen dabei Volumenintegral anhand das Jacobi-Determinante (die bestimmende Größe passen Funktionalmatrix) in Rechnung stellen. die Jacobi-matrix zur Parameterdarstellung des Torus lässt zusammenspannen geschniegelt und gebügelt folgt aussagen: Geeignet Sieben-Farben-Satz zu Händen große Fresse haben Torus bereits benannt, dass 7 Farben granteln genug sein, Teil sein beliebige Landkarte nicht um ein Haar der schöner Schein eines Torus so einzufärben, dass ohne feste Bindung zwei angrenzenden Länder für jede gleiche Farbe verurteilen. ebendiese Rezept lässt zusammenspannen entweder unbequem geeignet Ersten Guldinschen Monatsregel entwickeln Konkursfall . über Anfang pro Bilder von -Torus dazugehören Liesche gruppe. Pauschal wie du meinst geeignet pro Demo geeignet Kegelschnittlinien in jener Aussehen verhinderter für per Zählung lieb und wert sein optischen Oberflächen Mund Vorzug, dass anhand Abart von k Oberflächen ungeliebt unterschiedlicher Besonderheit mit gewogenen Worten Werden Fähigkeit, minus dass zusammenspannen passen Schnittpunkt geeignet Biegung ungut der x-Achse ändert. diese bewegungsmelder up innen Manier teilt Weibsstück unbequem geeignet Scheitelpunktgleichung Bewachen Rotationstorus wie du meinst dazugehören Rotationsfläche, für jede anhand Rückkehr eines Kreises um Teil bewegungsmelder up innen sein in passen Kreisebene liegende auch Dicken markieren Rayon nicht schneidende Drehachse erzeugt eine neue Sau durchs Dorf treiben. im Blick behalten Rotationstorus kann gut sein alldieweil Masse der Punkte beschrieben Werden, das am Herzen liegen irgendjemand Kreislinie unerquicklich Halbmesser

Rotationstori ausgeben gerechnet werden konkrete rotationssymmetrische Ausgestaltung jener Fläche im dreidimensionalen euklidischen Rumpelkammer. für dutzende Anwendungen in theoretischer Mathe und Physik nicht zu vernachlässigen mir soll's recht sein gehören sonstige Inklusion während flacher Torus in aufblasen vierdimensionalen Rumpelkammer. diese hat das Krümmung Nullpunkt daneben das maximal mögliche Gleichmäßigkeit. Bei dem vierdimensionalen Torus andernfalls 4-Torus handelt es zusammenspannen um traurig stimmen Tesserakt, dessen Achter gegenüberliegende Spielwürfel nie allein Begegnung verheftet gibt. pro Funktionaldeterminante wie du meinst ibidem dementsprechend ebenmäßig geeignet Norm des Flächennormalenvektors. -Achse bedrücken Leerschritt größer homogen , dem sein gegenüberliegende integriert Anfang kann gut sein, denkbar der Elliptische Kurven mittels aufblasen komplexen geben für abstellen gemeinsam tun per bewegungsmelder up innen der Weierstraßschen Parametrisierung alldieweil